3. une question de profit\nune entreprise québécoise fabrique deux types darmoires : des armoires de cuisine…

3. une question de profit\nune entreprise québécoise fabrique deux types darmoires : des armoires de cuisine et des armoires de salle de bain. à chaque mois, pour assurer la rentabilité de lentreprise, on y fabrique au moins 10 armoires de cuisine et au moins 20 armoires de salle de bain. cette entreprise fabrique au plus 120 armoires par mois. pour répondre à la demande des clients, on fabrique au maximum quatre fois plus darmoires de salle de bain que darmoires de cuisine.\nlentreprise réalise un profit de 450 $ par armoire de cuisine vendue et de 250 $ par armoire de salle de bain vendue.\nà partir du mois prochain, le profit réalisé sur une armoire de salle de bain diminuera de 50 $ suite à un changement de fournisseur, par contre celui sur une armoire de cuisine est inchangé.\nsachant que les frais mensuels dopérations de lentreprise sont de 9 000 $, lentreprise est - elle assurée de toujours couvrir ses frais mensuels dopérations?

3. une question de profit\nune entreprise québécoise fabrique deux types darmoires : des armoires de cuisine et des armoires de salle de bain. à chaque mois, pour assurer la rentabilité de lentreprise, on y fabrique au moins 10 armoires de cuisine et au moins 20 armoires de salle de bain. cette entreprise fabrique au plus 120 armoires par mois. pour répondre à la demande des clients, on fabrique au maximum quatre fois plus darmoires de salle de bain que darmoires de cuisine.\nlentreprise réalise un profit de 450 $ par armoire de cuisine vendue et de 250 $ par armoire de salle de bain vendue.\nà partir du mois prochain, le profit réalisé sur une armoire de salle de bain diminuera de 50 $ suite à un changement de fournisseur, par contre celui sur une armoire de cuisine est inchangé.\nsachant que les frais mensuels dopérations de lentreprise sont de 9 000 $, lentreprise est - elle assurée de toujours couvrir ses frais mensuels dopérations?

Answer

Explanation:

Step1: Définir les contraintes

Soit $x$ le nombre d'armoires de cuisine et $y$ le nombre d'armoires de salle de bain. Contraintes : $x\geq10$, $y\geq20$, $x + y\leq120$, $y\leq4x$

Step2: Mettre à jour la fonction de profit

Après le changement de fournisseur, le profit $Z = 450x+(250 - 50)y=450x + 200y$

Step3: Trouver les points extrêmes

  1. Intersection de $x = 10$ et $y = 20$ : $Z_1=450\times10+200\times20=4500 + 4000=8500$
  2. Intersection de $x = 10$ et $x + y=120$ (donc $y = 110$) : $Z_2=450\times10+200\times110=4500+22000 = 26500$
  3. Intersection de $y = 20$ et $x + y=120$ (donc $x = 100$) : $Z_3=450\times100+200\times20=45000+4000=49000$
  4. Intersection de $y = 4x$ et $x + y=120$ (en remplaçant $y$ par $4x$ on a $x+4x=120$, $5x=120$, $x = 24$ et $y = 96$) : $Z_4=450\times24+200\times96=10800+19200=30000$

Step4: Vérifier si le profit couvre les frais

Les frais mensuels d'opérations sont de $9000$. Le plus petit profit calculé ($Z_1 = 8500$) est inférieur à $9000$.

Answer:

Non, l'entreprise n'est pas assurée de toujours couvrir ses frais mensuels d'opérations.