12. lhuile dun réservoir est évacuée. le volume v (en litres) dhuile qui reste dans le réservoir après t min…

12. lhuile dun réservoir est évacuée. le volume v (en litres) dhuile qui reste dans le réservoir après t min peut être modélisé par la fonction v(t)=0.2(25 - t)³, où t ∈ 0, 25.\na) quelle quantité dhuile le réservoir contenait - il initialement?\nb) déterminez le taux de variation moyen du volume pendant :\ni) les 10 premières minutes ;\nii) les 10 dernières minutes.\nc) comparez les valeurs obtenues en b). expliquez les similarités et les différences.\nd) tracez un graphique qui représente le volume dhuile restant et le temps.\ne) que représentent les valeurs obtenues en b)?

12. lhuile dun réservoir est évacuée. le volume v (en litres) dhuile qui reste dans le réservoir après t min peut être modélisé par la fonction v(t)=0.2(25 - t)³, où t ∈ 0, 25.\na) quelle quantité dhuile le réservoir contenait - il initialement?\nb) déterminez le taux de variation moyen du volume pendant :\ni) les 10 premières minutes ;\nii) les 10 dernières minutes.\nc) comparez les valeurs obtenues en b). expliquez les similarités et les différences.\nd) tracez un graphique qui représente le volume dhuile restant et le temps.\ne) que représentent les valeurs obtenues en b)?

Answer

Explanation:

a) Quantité initiale d'huile

Pour trouver la quantité initiale d'huile, on remplace (t = 0) dans la fonction (V(t)=0.2(25 - t)^3). $$V(0)=0.2(25 - 0)^3=0.2\times25^3=0.2\times15625 = 3125$$

b) Taux de variation moyen

i) Taux de variation moyen dans les 10 premières minutes

Le taux de variation moyen d'une fonction (y = f(x)) sur l'intervalle ([a,b]) est donné par (\frac{f(b)-f(a)}{b - a}). Ici, (a = 0), (b = 10), (V(t)=0.2(25 - t)^3). (V(0)=0.2\times25^3 = 3125) et (V(10)=0.2(25 - 10)^3=0.2\times15^3=0.2\times3375 = 675). Le taux de variation moyen est (\frac{V(10)-V(0)}{10 - 0}=\frac{675 - 3125}{10}=\frac{- 2450}{10}=-245).

ii) Taux de variation moyen dans les 10 dernières minutes

(a = 15), (b = 25). (V(15)=0.2(25 - 15)^3=0.2\times10^3 = 200) et (V(25)=0.2(25 - 25)^3=0). Le taux de variation moyen est (\frac{V(25)-V(15)}{25 - 15}=\frac{0 - 200}{10}=- 20).

c) Comparaison

  • Différences : Le taux de variation moyen dans les 10 premières minutes est beaucoup plus élevé (en valeur absolue) que celui dans les 10 dernières minutes. Cela signifie que le volume d'huile diminue beaucoup plus rapidement au début du drainage que vers la fin.
  • Similitudes : Les deux taux de variation moyens sont négatifs, ce qui est cohérent car le volume d'huile diminue au fil du temps.

d) Tracer le graphique

On peut tracer le graphique de (V(t)=0.2(25 - t)^3) pour (t\in[0,25]). On peut calculer plusieurs points : (V(0) = 3125), (V(5)=0.2(25 - 5)^3=0.2\times20^3=1600), (V(10)=675), (V(15)=200), (V(20)=0.2(25 - 20)^3=25), (V(25)=0). Puis on trace les points sur un plan (t - V) et on les relie par une courbe continue.

e) Signification des taux de variation moyens

Les taux de variation moyens obtenus en b) représentent la vitesse moyenne à laquelle le volume d'huile change dans les intervalles de temps considérés. Un taux de variation moyen plus élevé (en valeur absolue) signifie une variation plus rapide du volume d'huile dans l'intervalle de temps correspondant.

Answer:

a) 3125 litres b) i) - 245 litres/minute ii) - 20 litres/minute c) Différences : le taux est plus élevé au début. Similitudes : les deux sont négatifs. d) Voir l'explication pour la méthode de tracé. e) Vitesse moyenne de variation du volume d'huile dans les intervalles de temps considérés.