20. en cálculo, el cociente de las diferencias $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ surge en repetidas ocasiones…

20. en cálculo, el cociente de las diferencias $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ surge en repetidas ocasiones. calcule esta expresión y simplifique en cada uno de los siguientes casos:\n\na) $f(x)=\frac{1}{x}$.\n\nb) $f(x)=x^{2}$.\n\nc) $f(x)=2x + 3$.

20. en cálculo, el cociente de las diferencias $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ surge en repetidas ocasiones. calcule esta expresión y simplifique en cada uno de los siguientes casos:\n\na) $f(x)=\frac{1}{x}$.\n\nb) $f(x)=x^{2}$.\n\nc) $f(x)=2x + 3$.

Answer

Explanation:

Paso1: Encontrar $f(x + h)$ para $f(x)=\frac{1}{x}$

Sustituimos $x$ por $x + h$ en $f(x)$, entonces $f(x + h)=\frac{1}{x + h}$.

Paso2: Calcular $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ para $f(x)=\frac{1}{x}$

\begin{align*} \frac{f(x + h)-f(x)}{h}&=\frac{\frac{1}{x + h}-\frac{1}{x}}{h}\ &=\frac{\frac{x-(x + h)}{x(x + h)}}{h}\ &=\frac{\frac{x - x - h}{x(x + h)}}{h}\ &=\frac{\frac{-h}{x(x + h)}}{h}\ &=-\frac{1}{x(x + h)} \end{align*}

Paso3: Encontrar $f(x + h)$ para $f(x)=x^{2}$

Sustituimos $x$ por $x + h$ en $f(x)$, entonces $f(x + h)=(x + h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$.

Paso4: Calcular $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ para $f(x)=x^{2}$

\begin{align*} \frac{f(x + h)-f(x)}{h}&=\frac{x^{2}+2xh + h^{2}-x^{2}}{h}\ &=\frac{2xh+h^{2}}{h}\ &=2x + h \end{align*}

Paso5: Encontrar $f(x + h)$ para $f(x)=2x + 3$

Sustituimos $x$ por $x + h$ en $f(x)$, entonces $f(x + h)=2(x + h)+3=2x+2h + 3$.

Paso6: Calcular $\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ para $f(x)=2x + 3$

\begin{align*} \frac{f(x + h)-f(x)}{h}&=\frac{2x+2h + 3-(2x + 3)}{h}\ &=\frac{2x+2h + 3-2x - 3}{h}\ &=\frac{2h}{h}\ &=2 \end{align*}

Respuesta:

a) $-\frac{1}{x(x + h)}$ b) $2x + h$ c) $2$