y = 2sin²x - sinxcosx + 3cos²x (0 ≤ x ≤ π/2) min & max value of y=?

Explanation:

Step1: 2倍角公式を使う

まず、$\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}$，$\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}$，$\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}$ を用いて式を変形します。 [ \begin{align*} y&=2\times\frac{1 - \cos2x}{2}-\frac{\sin2x}{2}+3\times\frac{1+\cos2x}{2}\ &=1-\cos2x-\frac{\sin2x}{2}+\frac{3 + 3\cos2x}{2}\ &=1-\cos2x-\frac{\sin2x}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3\cos2x}{2}\ &=\frac{5}{2}+\frac{\cos2x}{2}-\frac{\sin2x}{2}\ &=\frac{5}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos2x-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2x)\ &=\frac{5}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\pi}{4}\cos2x-\sin\frac{\pi}{4}\sin2x) \end{align*} ]

Step2: 加法定理を用いる

$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ を用いて、$y=\frac{5}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x+\frac{\pi}{4})$ となります。

Step3: 関数の範囲を求める

$x\leq\frac{\pi}{2}$ なので、$2x\leq\pi$ で、$2x+\frac{\pi}{4}\leq\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ です。 $\cos(2x+\frac{\pi}{4})$ の範囲を考えます。$\cos(2x+\frac{\pi}{4})$ の最小値は $x = \frac{3\pi}{8}$ のとき $\cos(\pi)= - 1$、最大値は $x = 0$ のとき $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。 $y$ の最小値：$y_{min}=\frac{5}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times(-1)=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5 - \sqrt{2}}{2}$ $y$ の最大値：$y_{max}=\frac{5}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$

Answer:

最小値は $\frac{5 - \sqrt{2}}{2}$、最大値は $3$ です。