c) r = t(2t² - 3)³ ; \\frac{dt}{dr}

Explanation:

Step1: Appliquer la règle de la chaîne et la règle du produit

Soit (u = t) et (v=(2t^{2}-3)^{3}). La règle du produit est (\frac{dr}{dt}=u'v + uv'). La dérivée de (u=t) est (u' = 1). Pour trouver (v'), on utilise la règle de la chaîne. Soit (w = 2t^{2}-3), alors (v = w^{3}). La dérivée de (v) par rapport à (t) est (v'=\frac{dv}{dw}\cdot\frac{dw}{dt}). (\frac{dv}{dw}=3w^{2}) et (\frac{dw}{dt}=4t), donc (v' = 3(2t^{2}-3)^{2}\cdot4t=12t(2t^{2}-3)^{2}).

Step2: Calculer (\frac{dr}{dt})

(\frac{dr}{dt}=1\cdot(2t^{2}-3)^{3}+t\cdot12t(2t^{2}-3)^{2}=(2t^{2}-3)^{3}+12t^{2}(2t^{2}-3)^{2}) Factoriser ((2t^{2}-3)^{2}) : (\frac{dr}{dt}=(2t^{2}-3)^{2}[(2t^{2}-3)+12t^{2}]=(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3))

Step3: Calculer (\frac{dt}{dr})

Puisque (\frac{dt}{dr}=\frac{1}{\frac{dr}{dt}}), on a (\frac{dt}{dr}=\frac{1}{(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3)})

Answer:

(\frac{dt}{dr}=\frac{1}{(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3)})