∫(x + 1)/√(2x² - 6x + 4) dx

Explanation:

Step1: Simplifier le dénominateur

Tout d'abord, factorisons le polynôme au - dessous de la racine carrée : $2x^{2}-6x + 4=2(x^{2}-3x + 2)=2(x - 1)(x - 2)$.

Step2: Utiliser la substitution

Posons $u=\sqrt{2x^{2}-6x + 4}$, alors $du=\frac{4x-6}{2\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx=\frac{2x - 3}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx$. On écrit $x + 1=\frac{1}{2}(2x-3)+\frac{5}{2}$. Alors $\int\frac{x + 1}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-3}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx+\frac{5}{2}\int\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx$. Le premier intégrale $\frac{1}{2}\int\frac{2x-3}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx=\frac{1}{2}\int du=\frac{1}{2}u+C_1=\frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}-6x + 4}+C_1$. Pour le deuxième intégrale, on complète le carré dans le dénominateur : $2x^{2}-6x + 4=2\left(x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right]$. $\int\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}}}dx$. En utilisant la formule $\int\frac{1}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}du=\ln\left|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\right|+C$ avec $u = x-\frac{3}{2}$ et $a=\frac{1}{2}$, on obtient $\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\left(x-\frac{3}{2}\right)+\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}}\right|+C_2$.

Step3: Combiner les résultats

$\int\frac{x + 1}{\sqrt{2x^{2}-6x + 4}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}-6x + 4}+\frac{5}{2\sqrt{2}}\ln\left|\left(x-\frac{3}{2}\right)+\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}}\right|+C$

Answer:

$\frac{1}{2}\sqrt{2x^{2}-6x + 4}+\frac{5}{2\sqrt{2}}\ln\left|\left(x-\frac{3}{2}\right)+\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}}\right|+C$