∫-1,0|e^x - (x^2 + 2x + 2)| dx

Explanation:

Step1: 関数の符号を調べる

$f(x)=e^{x}-(x^{2}+2x + 2)$ とする。$f'(x)=e^{x}-2x - 2$，$f''(x)=e^{x}-2$。$f''(x)=0$ の解は $x = \ln 2$。$x\in[-1,0]$ で $f'(x)$ は減少し，$f'(-1)=e^{-1}>0$，$f'(0)=-1<0$。$f(-1)=e^{-1}-1<0$，$f(0)=-1<0$。よって $x\in[-1,0]$ で $e^{x}-(x^{2}+2x + 2)\leq0$。

Step2: 絶対値を外す

$\int_{-1}^{0}|e^{x}-(x^{2}+2x + 2)|dx=\int_{-1}^{0}-(e^{x}-(x^{2}+2x + 2))dx=\int_{-1}^{0}(-e^{x}+x^{2}+2x + 2)dx$。

Step3: 積分を計算する

$\int(-e^{x}+x^{2}+2x + 2)dx=-e^{x}+\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2x + C$。 $\left[-e^{x}+\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2x\right]_{-1}^{0}=(-e^{0}+0 + 0+0)-\left(-e^{-1}-\frac{1}{3}+1 - 2\right)=-1+\frac{1}{e}+\frac{1}{3}+1=\frac{1}{e}+\frac{1}{3}$。

Answer:

$\frac{1}{e}+\frac{1}{3}$