2 f(x) = x³ - 2x² - x + 3 a y - intercept: b x - intercepts roots: c maximums: d minimums:

Explanation:

Step1: Encontrar el intercepto en y

Sustituir x = 0 en la función. $f(0)=0^{3}-2\times0^{2}-0 + 3=3$

Step2: Encontrar los interceptos en x

Resolver $x^{3}-2x^{2}-x + 3=0$. No es fàcil factorizar directamente. Podemos intentar valores simples. Intentando valores como x = -1: $(-1)^{3}-2\times(-1)^{2}-(-1)+3=-1 - 2 + 1+3=1$. Intentando x = 1: $1^{3}-2\times1^{2}-1 + 3=1-2 - 1+3=1$. Usando un método numèrico o un calculador gráfico, los raíces son aproximadamente $x\approx - 1.17$, $x\approx1.38$ y $x\approx1.79$.

Step3: Encontrar la derivada de la función

$f'(x)=3x^{2}-4x - 1$.

Step4: Encontrar los puntos críticos

Resolver $f'(x)=0$. Usando la fórmula cuadrática para $3x^{2}-4x - 1 = 0$, donde $a = 3$, $b=-4$, $c=-1$. $x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\times3\times(-1)}}{2\times3}=\frac{4\pm\sqrt{16 + 12}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$.

Step5: Encontrar los máximos y mínimos

Evaluamos la segunda - derivada $f''(x)=6x - 4$. Para $x=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$, $f''(\frac{2+\sqrt{7}}{3})=6\times\frac{2+\sqrt{7}}{3}-4 = 4 + 2\sqrt{7}-4=2\sqrt{7}>0$, entonces es un mínimo. Para $x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$, $f''(\frac{2-\sqrt{7}}{3})=6\times\frac{2-\sqrt{7}}{3}-4=4 - 2\sqrt{7}-4=-2\sqrt{7}<0$, entonces es un máximo. Evaluando $f(\frac{2-\sqrt{7}}{3})$ y $f(\frac{2+\sqrt{7}}{3})$: $f(\frac{2-\sqrt{7}}{3})=(\frac{2-\sqrt{7}}{3})^{3}-2\times(\frac{2-\sqrt{7}}{3})^{2}-(\frac{2-\sqrt{7}}{3})+3$ $f(\frac{2+\sqrt{7}}{3})=(\frac{2+\sqrt{7}}{3})^{3}-2\times(\frac{2+\sqrt{7}}{3})^{2}-(\frac{2+\sqrt{7}}{3})+3$

Answer:

[a] y - intercept: 3 [b] x - intercepts: $x\approx - 1.17$, $x\approx1.38$, $x\approx1.79$ [c] máximo: $f(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})$ (valor numérico calculado al evaluar) [d] mínimo: $f(\frac{2+\sqrt{7}}{3})$ (valor numérico calculado al evaluar)