answer the following questions about the fun f(x)=-(x - 3)^2+1 a. which function is concave down?

Explanation:

Step1: Encontrar la segunda - derivada

Dada la función $f(x)=-(x - 3)^2+1=-x^{2}+6x - 9 + 1=-x^{2}+6x - 8$. La primera derivada $f^\prime(x)$ se obtiene usando la regla de la potencia. Si $y = ax^{n}$, entonces $y^\prime=anx^{n - 1}$. $f^\prime(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2}+6x - 8)=-2x + 6$. La segunda derivada $f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}(-2x + 6)=-2$.

Step2: Analizar la concavidad

Una función $y = f(x)$ es cóncava hacia abajo cuando $f^{\prime\prime}(x)<0$. Como $f^{\prime\prime}(x)=-2<0$ para todos los valores de $x$ en el dominio de $f(x)$ (el dominio de $f(x)$ es $\mathbb{R}$), la función $f(x)=-(x - 3)^2+1$ es cóncava hacia abajo para $x\in(-\infty,\infty)$.

Answer:

La función $f(x)=-(x - 3)^2+1$ es cóncava hacia abajo para $x\in(-\infty,\infty)$.