the area labeled b is five times the area labeled a. express b in terms of a. y y y = e^x y = e^x a b x x a…

Explanation:

Step1: Calcular el área A

El área bajo la curva $y = e^{x}$ desde $0$ hasta $a$ se calcula mediante la integral $\int_{0}^{a}e^{x}dx$. Usando la regla $\int e^{x}dx=e^{x}+C$, tenemos $\int_{0}^{a}e^{x}dx=e^{x}\big|_{0}^{a}=e^{a}-e^{0}=e^{a} - 1$.

Step2: Calcular el área B

El área bajo la curva $y = e^{x}$ desde $0$ hasta $b$ es $\int_{0}^{b}e^{x}dx=e^{x}\big|_{0}^{b}=e^{b}-1$. Entonces, el área $B$ es $e^{b}-1-(e^{a}-1)=e^{b}-e^{a}$.

Step3: Aplicar la relación entre A y B

Dado que $B = 5A$, entonces $e^{b}-e^{a}=5(e^{a}-1)$.

Step4: Despejar b

$e^{b}-e^{a}=5e^{a}-5$. $e^{b}=6e^{a}-5$. Tomando logaritmo natural de ambos lados, $b=\ln(6e^{a}-5)$.

Answer:

$b=\ln(6e^{a}-5)$