calculate ∫c f·dr, where f(x, y) = ⟨x³ + y, 4x - y³⟩ and c is the positively oriented boundary curve of a…

Explanation:

Step1: Aplicar el teorema de Green

El teorema de Green establece que $\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dA$, donde $\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle$. Aquí, $P = x^{3}+y$ y $Q = 4x - y^{3}$.

Step2: Calcular las derivadas parciales

Calculamos $\frac{\partial Q}{\partial x}=4$ y $\frac{\partial P}{\partial y}=1$.

Step3: Calcular la integral doble

Entonces, $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4 - 1=3$. Y $\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}3dA$.

Step4: Utilizar el área de la región

Como el área de la región $D$ es $A = \iint_{D}dA=7$, entonces $\iint_{D}3dA=3\iint_{D}dA$.

Answer:

$21$