1. calcule os seguintes limites:\na) $\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$ (2.5)\nb) $\\lim_{x \\to…

1. calcule os seguintes limites:\na) $\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$ (2.5)\nb) $\\lim_{x \\to 0}(2+\\cos^{2}x - \\sin x)^{-2}$ (2.5)\n2. dada a função $f(x)=\\begin{cases}x^{2}+2, & \\text{se }x\\leq1 \\ -x + a, & \\text{se }1<x<3 \\ \\log_{2}(x - 1), & \\text{se }x>3\\end{cases}$\na) construa o gráfico de $f(x)$ se $a = 2$ (2.0)\nb) determine o valor de $a$ para que $f(x)$ seja contínua em $x = 1$ (2.0)\nc) justifique se $f(x)$ e ou não contínua em $x = 3$ (2.0)\n3. calcule a derivada da seguinte função aplicando a definição:\na) $f(x)=\\cos x$ (3.0)\n4. calcule as derivadas das seguintes funções compostas:\na) $y = \\cos\\sqrt{1 + 3x^{2}}+\\ln(x + 3)$ (3.0)\nb) $y = e^{\\sqrt{x^{2}+1}}$ (3.0)

1. calcule os seguintes limites:\na) $\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$ (2.5)\nb) $\\lim_{x \\to 0}(2+\\cos^{2}x - \\sin x)^{-2}$ (2.5)\n2. dada a função $f(x)=\\begin{cases}x^{2}+2, & \\text{se }x\\leq1 \\ -x + a, & \\text{se }1<x<3 \\ \\log_{2}(x - 1), & \\text{se }x>3\\end{cases}$\na) construa o gráfico de $f(x)$ se $a = 2$ (2.0)\nb) determine o valor de $a$ para que $f(x)$ seja contínua em $x = 1$ (2.0)\nc) justifique se $f(x)$ e ou não contínua em $x = 3$ (2.0)\n3. calcule a derivada da seguinte função aplicando a definição:\na) $f(x)=\\cos x$ (3.0)\n4. calcule as derivadas das seguintes funções compostas:\na) $y = \\cos\\sqrt{1 + 3x^{2}}+\\ln(x + 3)$ (3.0)\nb) $y = e^{\\sqrt{x^{2}+1}}$ (3.0)

Answer

Explanation:

Step1: Dividir cada término por n

$\frac{n^2 + 4n - 5}{n} = n + 4 - \frac{5}{n}$

Step2: Evaluar límite cuando $n \to \infty$

$n \to \infty$, $\frac{5}{n} \to 0$, así $\lim_{n \to \infty} (n + 4 - \frac{5}{n}) = \infty$

Answer:

$\infty$

Explanation:

Step1: Sustituir $x=0$ en la expresión

$2 + \cos^2 0 - \sin 0 = 2 + 1^2 - 0 = 3$

Step2: Elevar al -2

$3^{-2} = \frac{1}{9}$

Answer:

$\frac{1}{9}$

Explanation:

Step1: Función por tramos con $a=2$

  • $x \leq 1$: $f(x) = x^2 + 2$ (parábola, vértice (0,2), pasa por (1,3))
  • $1 < x < 3$: $f(x) = -x + 2$ (recta, pendiente -1, en $x \to 1^+$: 1, en $x \to 3^-$: -1)
  • $x > 3$: $f(x) = \log_2(x - 1)$ (logarítmica, en $x=4$: $\log_2 3$, creciente)

Answer:

Gráfico compuesto por la parábola $x^2 + 2$ (para $x \leq 1$), la recta $-x + 2$ (para $1 < x < 3$) y la logarítmica $\log_2(x - 1)$ (para $x > 3$)

Explanation:

Step1: Condición de continuidad en $x=1$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

Step2: Calcular límites laterales

$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2) = 3$, $\lim_{x \to 1^+} (-x + a) = -1 + a$, $f(1)=3$

Step3: Igualar y resolver para $a$

$-1 + a = 3 \implies a=4$

Answer:

$4$

Explanation:

Step1: Ver definición en $x=3$

$f(x)$ no está definida en $x=3$ (dominios: $x \leq 1$, $1 < x < 3$, $x > 3$)

Step2: Conclusión de continuidad

Función no definida en $x=3$, por lo tanto no es continua

Answer:

No, $f(x)$ no es continua en $x=3$ porque no está definida allí

Explanation:

Step1: Aplicar definición de derivada

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h}$

Step2: Usar identidad de coseno de suma

$\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$, así $\frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

Step3: Evaluar límites estándar

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$, $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$, entonces $f'(x) = -\sin x$

Answer:

$-\sin x$

Explanation:

Step1: Derivar $\cos(\sqrt{1 + 3x^2})$ (regla de cadena)

$u = \sqrt{1 + 3x^2}$, $u' = \frac{3x}{\sqrt{1 + 3x^2}}$, derivada: $-\sin u \cdot u' = -\frac{3x \sin(\sqrt{1 + 3x^2})}{\sqrt{1 + 3x^2}}$

Step2: Derivar $\ln(x + 3)$

$\frac{1}{x + 3}$

Step3: Sumar derivadas

$-\frac{3x \sin(\sqrt{1 + 3x^2})}{\sqrt{1 + 3x^2}} + \frac{1}{x + 3}$

Answer:

$-\frac{3x \sin(\sqrt{1 + 3x^2})}{\sqrt{1 + 3x^2}} + \frac{1}{x + 3}$

Explanation:

Step1: Aplicar regla de cadena, $u = \sqrt{x^2 + 1}$

$u' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Step2: Derivar $e^u$

$e^u \cdot u' = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Answer:

$\frac{x e^{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}}$