consider the following line integral. ∮c xy dx + x²y³ dy, c is counterclockwise around the triangle with…

Explanation:

Step1: Dividir el triángulo en lados

Dividimos el triángulo en tres lados $C_1$, $C_2$ y $C_3$.

• $C_1$: $y = 0$, $0\leq x\leq1$, $dy = 0$. Entonces $\int_{C_1}(xy\ dx+x^{2}y^{3}\ dy)=\int_{0}^{1}(x\cdot0\ dx+x^{2}\cdot0^{3}\cdot0)=0$.
• $C_2$: $x = 1$, $0\leq y\leq4$, $dx = 0$. Entonces $\int_{C_2}(xy\ dx+x^{2}y^{3}\ dy)=\int_{0}^{4}(1\cdot y\cdot0 + 1^{2}\cdot y^{3}\ dy)=\int_{0}^{4}y^{3}\ dy$. $$\int_{0}^{4}y^{3}\ dy=\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{4}}{4}-0 = 64$$
• $C_3$: $y = 4x$, $x$ de $1$ a $0$, $dy = 4dx$. Entonces $\int_{C_3}(xy\ dx+x^{2}y^{3}\ dy)=\int_{1}^{0}(x\cdot4x\ dx+x^{2}\cdot(4x)^{3}\cdot4dx)$. $$=\int_{1}^{0}(4x^{2}+1024x^{5})\ dx=\left[\frac{4x^{3}}{3}+\frac{1024x^{6}}{6}\right]_{1}^{0}=0 - (\frac{4}{3}+\frac{1024}{6})=-\frac{8 + 1024}{6}=-\frac{1032}{6}=- 172$$

Step2: Sumar los resultados de los lados

$\int_{C}(xy\ dx+x^{2}y^{3}\ dy)=\int_{C_1}+\int_{C_2}+\int_{C_3}=0 + 64-172=-108$.

Step3: Aplicar el teorema de Green

Sea $P = xy$ y $Q=x^{2}y^{3}$. Entonces $\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy^{3}$ y $\frac{\partial P}{\partial y}=x$. Por el teorema de Green $\int_{C}P\ dx+Q\ dy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\ dA$, donde $D$ es la región acotada por $C$. El límite de integración para $D$ es $0\leq x\leq1$ y $0\leq y\leq4x$. Entonces $\iint_{D}(2xy^{3}-x)\ dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{4x}(2xy^{3}-x)\ dy\ dx$. Primero integramos con respecto a $y$: $\int_{0}^{4x}(2xy^{3}-x)\ dy=\left[\frac{2xy^{4}}{4}-xy\right]{0}^{4x}=\frac{2x(4x)^{4}}{4}-x\cdot4x=512x^{5}-4x^{2}$. Luego integramos con respecto a $x$: $\int{0}^{1}(512x^{5}-4x^{2})\ dx=\left[\frac{512x^{6}}{6}-\frac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{512}{6}-\frac{4}{3}=\frac{512 - 8}{6}=\frac{504}{6}=84 - 192=- 108$.

Answer:

(a) - 108 (b) - 108