considere la función (f(x)=2^{x}) y su inversa (f^{-1}(x)). ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es…
considere la función (f(x)=2^{x}) y su inversa (f^{-1}(x)). ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera acerca de las asintotas de (f(x)) y (f^{-1}(x))?\na. (f(x)) tiene una asintota vertical en (x = 0).\nb. (f(x)) tiene una asintota horizontal en (y = 0)\nc. (f^{-1}(x)) tiene una asintota vertical en (x = 0)
Answer
Explanation:
Step1: Encontrar la función inversa
Dada $y = f(x)=2^{x}$, para encontrar la inversa intercambiamos $x$ e $y$: $x = 2^{y}$, entonces $y=\log_{2}(x)=f^{-1}(x)$.
Step2: Analizar las asintotas de $y = f(x)=2^{x}$
La función exponencial $y = 2^{x}$ no tiene asintota vertical. Su dominio es $\mathbb{R}$. Y como $x\to-\infty$, $y = 2^{x}\to0$, entonces tiene una asintota horizontal $y = 0$.
Step3: Analizar las asintotas de $y = f^{-1}(x)=\log_{2}(x)$
La función logarítmica $y=\log_{2}(x)$ tiene una asintota vertical en $x = 0$ ya que el dominio de $y=\log_{2}(x)$ es $(0,\infty)$.
Answer:
A. $f(x)$ tiene una asintota vertical en $x = 0$. (Esta afirmación no es verdadera) B. $f(x)$ tiene una asintota horizontal en $y = 0$ (Verdadera) C. $f^{-1}(x)$ tiene una asintota vertical en $x = 0$ (Verdadera)
La respuesta es A.