determine a region whose area is equal to the given limit. do not evaluate the limit. lim n→∞∑i =…

Explanation:

Step1: Recuerda la definición de integral como límite de sumas

La integral definida $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}f(x_i)\Delta x$, donde $\Delta x=\frac{b - a}{n}$ y $x_i=a + i\Delta x$.

Step2: Identifica $\Delta x$ y $x_i$ en la suma dada

Dado $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{\pi}{6n}\tan(\frac{i\pi}{6n})$, tenemos $\Delta x=\frac{\pi}{6n}$ y $x_i=\frac{i\pi}{6n}$.

Step3: Encuentra $a$ y $b$

Como $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{\pi}{6n}$, entonces $b - a=\frac{\pi}{6}$. Y como $x_i=a + i\Delta x$ y $x_i=\frac{i\pi}{6n}$, cuando $i = 0$, $x_0=a = 0$. Entonces, si $b - a=\frac{\pi}{6}$ y $a = 0$, entonces $b=\frac{\pi}{6}$. Y $f(x)=\tan(x)$.

Answer:

$\tan(x)$ on $\left[0,\frac{\pi}{6}\right]$