differentiate the following functions.\n(a) 4pts. ( f(x)=\frac{x^{2} sin (x)}{1+x^{2}} )\n(b) 4pts. (…

Explanation:

Step1: 对(f(x)=\frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}})求导

根据除法求导公式((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}})，其中(u = x^{2}\sin(x))，(v = 1 + x^{2})。 先求(u^\prime)： 根据乘法求导公式((uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime)，(u = x^{2})，(v=\sin(x))，则(u^\prime = 2x)，(v^\prime=\cos(x))，所以(u^\prime=(x^{2}\sin(x))^\prime=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x))。 (v^\prime = 2x)。 则(f^\prime(x)=\frac{(2x\sin(x)+x^{2}\cos(x))(1 + x^{2})-x^{2}\sin(x)\cdot2x}{(1 + x^{2})^{2}}=\frac{2x\sin(x)+2x^{3}\sin(x)+x^{2}\cos(x)+x^{4}\cos(x)-2x^{3}\sin(x)}{(1 + x^{2})^{2}}=\frac{2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)+x^{4}\cos(x)}{(1 + x^{2})^{2}})。

Step2: 对(f(x)=\sin^{2}(3x)\sin(4x^{5}))求导

根据乘法求导公式((uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime)，其中(u=\sin^{2}(3x))，(v = \sin(4x^{5}))。 先求(u^\prime)： 令(t=\sin(3x))，则(u = t^{2})，根据复合函数求导公式((f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x))，(u^\prime = 2t\cdot t^\prime)，(t^\prime=3\cos(3x))，所以(u^\prime = 6\sin(3x)\cos(3x))。 再求(v^\prime)： 令(s = 4x^{5})，则(v=\sin(s))，(v^\prime=\cos(s)\cdot s^\prime)，(s^\prime = 20x^{4})，所以(v^\prime=20x^{4}\cos(4x^{5}))。 则(f^\prime(x)=6\sin(3x)\cos(3x)\sin(4x^{5})+20x^{4}\cos(4x^{5})\sin^{2}(3x))。

Step3: 对(f(x)=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}})求导

令(y=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}})，设(u = 1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}})，则(y=\sqrt{u})，(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^\prime)。 设(v=\sqrt{1+\sqrt{1 + x}})，则(u = 1 + v)，(u^\prime=v^\prime)。 设(w=\sqrt{1 + x})，则(v=\sqrt{1 + w})，(v^\prime=\frac{1}{2\sqrt{1 + w}}\cdot w^\prime)，(w^\prime=\frac{1}{2\sqrt{1 + x}})。 所以(v^\prime=\frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1 + x}})。 则(f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}=\frac{1}{8\sqrt{1 + x}\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}}})。

Answer:

(a) (f^\prime(x)=\frac{2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)+x^{4}\cos(x)}{(1 + x^{2})^{2}})； (b) (f^\prime(x)=6\sin(3x)\cos(3x)\sin(4x^{5})+20x^{4}\cos(4x^{5})\sin^{2}(3x))； (c) (f^\prime(x)=\frac{1}{8\sqrt{1 + x}\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 + x}}}})。