ejemplo 6: resuelve elevando al cuadrado halla todas las soluciones de la ecuación. csc(x) - cot(x) = 1

Answer:

$x = 2k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}$

Explanation:

Step1: Reescribir en términos de seno y coseno

Recordando que $\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}$ y $\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, la ecuación $\csc(x)-\cot(x) = 1$ se convierte en $\frac{1}{\sin(x)}-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=1$, es decir $\frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}=1$. Luego, $1-\cos(x)=\sin(x)$.

Step2: Elevar al cuadrado

$(1 - \cos(x))^{2}=\sin^{2}(x)$. Expandimos el lado izquierdo: $1 - 2\cos(x)+\cos^{2}(x)=\sin^{2}(x)$.

Step3: Usar la identidad trigonométrica $\sin^{2}(x)=1 - \cos^{2}(x)$

$1 - 2\cos(x)+\cos^{2}(x)=1 - \cos^{2}(x)$.

Step4: Simplificar la ecuación

$1 - 2\cos(x)+\cos^{2}(x)-1+\cos^{2}(x)=0$. $2\cos^{2}(x)-2\cos(x)=0$. Factorizamos: $2\cos(x)(\cos(x) - 1)=0$.

Step5: Resolver para $\cos(x)$

Si $2\cos(x)=0$, entonces $\cos(x)=0$, lo que da $x=(2k + 1)\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$. Si $\cos(x)-1 = 0$, entonces $\cos(x)=1$, lo que da $x = 2k\pi,k\in\mathbb{Z}$.

Step6: Verificar soluciones

Al sustituir $x = 2k\pi$ en la ecuación original $\csc(2k\pi)-\cot(2k\pi)$, $\csc(2k\pi)$ no está definido, así que no es solución. Al sustituir $x=(2k + 1)\frac{\pi}{2}$, $\csc((2k + 1)\frac{\pi}{2})=1$ y $\cot((2k + 1)\frac{\pi}{2})=0$ para $k\in\mathbb{Z}$, entonces $x = 2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$ es la solución.