encuentre y sujeto a las siguientes condiciones: y = x / (x² + 6); y(1) = 0 a y = ln√((x² + 6) / 7) b y =…

Explanation:

Step1: Integrar la ecuación diferencial

Dado $y'=\frac{x}{x^{2}+6}$, integramos con respecto a $x$. Hacemos el cambio de variable $u = x^{2}+6$, entonces $du=2x dx$ y $\int\frac{x}{x^{2}+6}dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+6)+C$.

Step2: Aplicar la condición inicial

Tenemos $y(1) = 0$. Sustituyendo $x = 1$ y $y=0$ en $y=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+6)+C$, obtenemos $0=\frac{1}{2}\ln(1 + 6)+C$, es decir $0=\frac{1}{2}\ln(7)+C$, entonces $C=-\frac{1}{2}\ln(7)$.

Step3: Escribir la solución final

$y=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+6)-\frac{1}{2}\ln(7)=\frac{1}{2}\ln\frac{x^{2}+6}{7}=\frac{1}{2}\ln\sqrt{\frac{x^{2}+6}{7}}$.

Answer:

C. $y=\frac{1}{2}\ln\sqrt{\frac{x^{2}+6}{7}}$