evaluate the integral. \n int_{1}^{2} \frac{v^{3}+5v^{8}}{v^{4}}dv

Answer:

$14 + \ln{2}$

Explanation:

Step1: Simplificar la función integrando

$$\frac{v^{3}+5v^{8}}{v^{4}}=\frac{v^{3}}{v^{4}}+\frac{5v^{8}}{v^{4}} = v^{- 1}+5v^{4}$$

Step2: Calcular la integral indefinida

$$\int(v^{-1}+5v^{4})dv=\int v^{-1}dv + 5\int v^{4}dv=\ln|v|+5\times\frac{v^{5}}{5}+C=\ln|v|+v^{5}+C$$

Step3: Aplicar los límites de integración

$$\left[\ln|v|+v^{5}\right]_{1}^{2}=(\ln{2}+2^{5})-(\ln{1}+1^{5})$$ Como $\ln{1} = 0$, entonces $(\ln{2}+32)-(0 + 1)=\ln{2}+32 - 1=14+\ln{2}$