evaluate the integral by interpreting it in terms of areas. \n\\(\\int_{0}^{3}|2x - 3|dx\\)

Explanation:

Step1: Encontrar el cero de la función dentro del intervalo

Resolver $2x - 3=0$ da $x=\frac{3}{2}$.

Step2: Descomponer el integral en sub - intervalos

$\int_{0}^{3}|2x - 3|dx=\int_{0}^{\frac{3}{2}}-(2x - 3)dx+\int_{\frac{3}{2}}^{3}(2x - 3)dx$.

Step3: Calcular el primer integral

$\int_{0}^{\frac{3}{2}}-(2x - 3)dx=\int_{0}^{\frac{3}{2}}(- 2x + 3)dx$. Usando la regla $\int(ax + b)dx=\frac{ax^{2}}{2}+bx+C$, tenemos: $\left[-x^{2}+3x\right]_{0}^{\frac{3}{2}}=-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+3\times\frac{3}{2}-(0 + 0)=\frac{9}{4}$.

Step4: Calcular el segundo integral

$\int_{\frac{3}{2}}^{3}(2x - 3)dx=\left[x^{2}-3x\right]_{\frac{3}{2}}^{3}$. $=(3^{2}-3\times3)-\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\times\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}$.

Step5: Sumar los resultados

$\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$.

Answer:

$\frac{9}{2}$