evaluate the integral. (use symbolic notation and fractions where needed. use c for the arbitrary constant…

Explicación:

Paso 1: Descomposición en fracciones parciales

Escribimos $\frac{3x^{2}}{(x + 1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x + 1}+\frac{Bx + C}{x^{2}+1}$. Multiplicando ambos lados por $(x + 1)(x^{2}+1)$ obtenemos $3x^{2}=A(x^{2}+1)+(Bx + C)(x + 1)$. Sustituyendo $x=-1$: $3=A(1 + 1)+0$, entonces $A=\frac{3}{2}$. Desarrollando el lado derecho: $3x^{2}=Ax^{2}+A + Bx^{2}+Bx + Cx + C=(A + B)x^{2}+(B + C)x+(A + C)$. Igualando coeficientes:

• Para el coeficiente de $x^{2}$: $3=A + B$, como $A=\frac{3}{2}$, entonces $B=\frac{3}{2}$.
• Para el coeficiente de $x$: $0=B + C$, como $B=\frac{3}{2}$, entonces $C=-\frac{3}{2}$. Así, $\frac{3x^{2}}{(x + 1)(x^{2}+1)}=\frac{\frac{3}{2}}{x + 1}+\frac{\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}{x^{2}+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x + 1}+\frac{3}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}$.

Paso 2: Integración de cada término

• $\int\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x + 1}dx=\frac{3}{2}\ln|x + 1|$.
• Para $\int\frac{3}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}dx$, hacemos el cambio de variable $u=x^{2}+1$, $du = 2xdx$, entonces $\int\frac{3}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{3}{4}\int\frac{du}{u}=\frac{3}{4}\ln|u|=\frac{3}{4}\ln(x^{2}+1)$.
• $\int-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}dx=-\frac{3}{2}\arctan(x)$.

Paso 3: Suma de las integrales

$\int\frac{3x^{2}}{(x + 1)(x^{2}+1)}dx=\frac{3}{2}\ln|x + 1|+\frac{3}{4}\ln(x^{2}+1)-\frac{3}{2}\arctan(x)+C$.

Respuesta:

$\frac{3}{2}\ln|x + 1|+\frac{3}{4}\ln(x^{2}+1)-\frac{3}{2}\arctan(x)+C$