in exercises 23 - 30, graph the function. identify the x - intercepts and the points where the local…

in exercises 23 - 30, graph the function. identify the x - intercepts and the points where the local maximums and local minimums occur. determine the intervals for which the function is increasing or decreasing. (see example 3.) 23. g(x)=2x³ + 8x² - 3 24. g(x)=-x⁴ + 3x 25. h(x)=x⁴ - 3x² + x 26. f(x)=x⁵ - 4x³ + x² + 2

in exercises 23 - 30, graph the function. identify the x - intercepts and the points where the local maximums and local minimums occur. determine the intervals for which the function is increasing or decreasing. (see example 3.) 23. g(x)=2x³ + 8x² - 3 24. g(x)=-x⁴ + 3x 25. h(x)=x⁴ - 3x² + x 26. f(x)=x⁵ - 4x³ + x² + 2

Answer

Explanation:

Step1: Encontrar la derivada de la función

Para $g(x)=2x^{3}+8x^{2}-3$, la derivada $g'(x)=6x^{2}+16x = 2x(3x + 8)$.

Step2: Encontrar los puntos críticos

Igualamos $g'(x)=0$, entonces $2x(3x + 8)=0$. Esto da $x = 0$ y $x=-\frac{8}{3}$.

Step3: Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Tomamos intervalos $(-\infty,-\frac{8}{3})$, $(-\frac{8}{3},0)$ y $(0,\infty)$. Para $x\in(-\infty,-\frac{8}{3})$, tomamos $x=-3$, entonces $g'(-3)=6\times(-3)^{2}+16\times(-3)=54 - 48=6>0$, la función es creciente. Para $x\in(-\frac{8}{3},0)$, tomamos $x = - 1$, entonces $g'(-1)=6\times(-1)^{2}+16\times(-1)=6 - 16=-10<0$, la función es decreciente. Para $x\in(0,\infty)$, tomamos $x = 1$, entonces $g'(1)=6\times1^{2}+16\times1=6 + 16=22>0$, la función es creciente.

Step4: Encontrar los máximos y mínimos locales

Como la función cambia de creciente a decreciente en $x =-\frac{8}{3}$, $g(-\frac{8}{3})=2\times(-\frac{8}{3})^{3}+8\times(-\frac{8}{3})^{2}-3=2\times(-\frac{512}{27})+8\times\frac{64}{9}-3=-\frac{1024}{27}+\frac{512}{9}-3=-\frac{1024}{27}+\frac{1536}{27}-\frac{81}{27}=\frac{-1024 + 1536-81}{27}=\frac{431}{27}$ es un máximo local. Como la función cambia de decreciente a creciente en $x = 0$, $g(0)=-3$ es un mínimo local.

Step5: Encontrar los interceptos en x

Igualamos $g(x)=0$, es decir $2x^{3}+8x^{2}-3 = 0$. Esta ecuación no se resuelve fácilmente por factorización, pero se pueden usar métodos numéricos o la calculadora gráfica para aproximar los valores.

Para encontrar los interceptos en x, la derivada y los intervalos de crecimiento/decrecimiento de las otras funciones se sigue un proceso similar.

Answer:

Para $g(x)=2x^{3}+8x^{2}-3$:

  • Interceptos en x: se aproximan con métodos numéricos.
  • Máximo local en $x =-\frac{8}{3}$, $y=\frac{431}{27}$.
  • Mínimo local en $x = 0$, $y=-3$.
  • Intervalo de crecimiento: $(-\infty,-\frac{8}{3})\cup(0,\infty)$.
  • Intervalo de decrecimiento: $(-\frac{8}{3},0)$.