b) a fence is to be built to enclose a rectangular area of 1,250 square feet. the fence along three sides is…
b) a fence is to be built to enclose a rectangular area of 1,250 square feet. the fence along three sides is to be made of material that costs $5 per foot. the material for the fourth side costs $15 per foot. find the dimensions of the rectangle that will allow for the cheapest fence to be built. (dont forget to define your variables) (showing a table of values from your calculator to justify your minimum counts as work!) (6 pts)
Answer
Explanation:
Step1: Definir variables
Sea (x) la longitud del lado que cuesta (15) dólares por pie y (y) la longitud de los otros dos lados (que cuestan (5) dólares por pie). El área del rectángulo es (A = xy=1250), entonces (y=\frac{1250}{x}).
Step2: Escribir la función de costo
El costo (C) de la valla es (C = 5y+5y + 15x=10y + 15x). Sustituyendo (y=\frac{1250}{x}) en la función de costo, obtenemos (C(x)=10\times\frac{1250}{x}+15x=\frac{12500}{x}+15x), con (x>0).
Step3: Encontrar la derivada de la función de costo
La derivada de (C(x)) es (C^\prime(x)=-\frac{12500}{x^{2}}+15).
Step4: Igualar la derivada a cero
Igualamos (C^\prime(x) = 0): [ \begin{align*} -\frac{12500}{x^{2}}+15&=0\ 15x^{2}&=12500\ x^{2}&=\frac{12500}{15}=\frac{2500}{3}\ x&=\sqrt{\frac{2500}{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}\approx28.87 \end{align*} ]
Step5: Encontrar (y)
Como (y = \frac{1250}{x}), sustituyendo (x=\frac{50}{\sqrt{3}}), tenemos (y=\frac{1250}{\frac{50}{\sqrt{3}}}=25\sqrt{3}\approx43.30)
Step6: Verificar que es un mínimo
Tomamos la segunda derivada (C^{\prime\prime}(x)=\frac{25000}{x^{3}}). Cuando (x = \frac{50}{\sqrt{3}}), (C^{\prime\prime}(x)>0), por lo que (x=\frac{50}{\sqrt{3}}) y (y = 25\sqrt{3}) dan un mínimo.
Answer:
Las dimensiones del rectángulo son (x=\frac{50}{\sqrt{3}}\text{ pies}\approx28.87\text{ pies}) y (y = 25\sqrt{3}\text{ pies}\approx43.30\text{ pies})