find the acute angles between the curves at their points of intersection. use degrees rounded to one decimal…

Explanation:

Step1: Encontrar los puntos de intersección

Igualamos las dos ecuaciones: $4x^{2}=4x^{3}$. Re - escribimos como $4x^{3}-4x^{2}=0$, luego $4x^{2}(x - 1)=0$. Las soluciones son $x = 0$ y $x=1$. Para $x = 0$, $y=0$; para $x = 1$, $y = 4$. Los puntos de intersección son $(0,0)$ y $(1,4)$.

Step2: Encontrar las derivadas

La derivada de $y = 4x^{2}$ es $y'=8x$ (usando la regla de la potencia $\frac{d}{dx}(ax^{n})=nax^{n - 1}$). La derivada de $y = 4x^{3}$ es $y'=12x^{2}$.

Step3: Encontrar las pendientes de las tangentes en los puntos de intersección

En $x = 0$: Para $y = 4x^{2}$, $m_1=8(0)=0$. Para $y = 4x^{3}$, $m_2=12(0)^{2}=0$. El ángulo entre las tangentes en $(0,0)$ es $\theta=0^{\circ}$. En $x = 1$: Para $y = 4x^{2}$, $m_1=8(1)=8$. Para $y = 4x^{3}$, $m_2=12(1)^{2}=12$. Usamos la fórmula $\tan\theta=\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$. Sustituyendo $m_1 = 8$ y $m_2=12$: $\tan\theta=\left|\frac{8 - 12}{1+(8\times12)}\right|=\left|\frac{- 4}{1 + 96}\right|=\frac{4}{97}$. $\theta=\arctan\left(\frac{4}{97}\right)\approx2.4^{\circ}$.

Answer:

$0.0,2.4$