find the derivative of the function. g(x) = ∫6x to 7x (u² - 5)/(u² + 5) du hint: ∫6x to 7x f(u) du = ∫6x to…

Explanation:

Step1: Aplicar la regla fundamental del cálculo y la regla de la cadena

Según la regla fundamental del cálculo y la regla de la cadena, si $g(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(u)du$, entonces $g'(x)=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)$. Aquí, $a(x) = 6x$, $b(x)=7x$ y $f(u)=\frac{u^{2}-5}{u^{2}+5}$.

Step2: Encontrar $a'(x)$ y $b'(x)$

Derivamos $a(x) = 6x$ y $b(x)=7x$. Entonces $a'(x)=6$ y $b'(x)=7$.

Step3: Calcular $f(b(x))$ y $f(a(x))$

Sustituimos $u = b(x)=7x$ en $f(u)$: $f(7x)=\frac{(7x)^{2}-5}{(7x)^{2}+5}=\frac{49x^{2}-5}{49x^{2}+5}$. Sustituimos $u = a(x)=6x$ en $f(u)$: $f(6x)=\frac{(6x)^{2}-5}{(6x)^{2}+5}=\frac{36x^{2}-5}{36x^{2}+5}$.

Step4: Calcular $g'(x)$

$g'(x)=f(7x)\cdot b'(x)-f(6x)\cdot a'(x)$. $g'(x)=7\cdot\frac{49x^{2}-5}{49x^{2}+5}-6\cdot\frac{36x^{2}-5}{36x^{2}+5}$.

Answer:

$7\cdot\frac{49x^{2}-5}{49x^{2}+5}-6\cdot\frac{36x^{2}-5}{36x^{2}+5}$