find ∫₀¹⁰ f(x) dx if f(x) = { 8 if x < 8; x if x ≥ 8 }

Explanation:

Step1: Dividir la integral

Utilizamos la propiedad $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$. Aquí $a = 0$, $b = 8$, $c = 10$. Entonces $\int_{0}^{10}f(x)dx=\int_{0}^{8}f(x)dx+\int_{8}^{10}f(x)dx$.

Step2: Calcular $\int_{0}^{8}f(x)dx$

Como $f(x)=8$ para $x < 8$, entonces $\int_{0}^{8}f(x)dx=\int_{0}^{8}8dx$. Usando la regla $\int kdx=kx + C$ ($k$ es una constante), tenemos $\int_{0}^{8}8dx=8x\big|_{0}^{8}=8\times8 - 8\times0=64$.

Step3: Calcular $\int_{8}^{10}f(x)dx$

Como $f(x)=x$ para $x\geq8$, entonces $\int_{8}^{10}f(x)dx=\int_{8}^{10}xdx$. Usando la regla $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$), aquí $n = 1$, entonces $\int_{8}^{10}xdx=\frac{x^{2}}{2}\big|_{8}^{10}=\frac{10^{2}}{2}-\frac{8^{2}}{2}=\frac{100}{2}-\frac{64}{2}=50 - 32 = 18$.

Step4: Sumar los resultados

$\int_{0}^{10}f(x)dx=\int_{0}^{8}f(x)dx+\int_{8}^{10}f(x)dx=64 + 18=82$.

Answer:

$82$