find the following trigonometric values.\nexpress your answers exactly.\n$\\cos\\left(\\frac{7\\pi}{4}\\right…

Explanation:

Step1: Trouver le référentiel

$\frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}$, l'angle $\frac{7\pi}{4}$ est dans le quatrième quadrant.

Step2: Utiliser les identités trigonométriques

Dans le quatrième quadrant, $\cos\theta>0$ et $\sin\theta < 0$. On sait que $\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ et $\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$. Ici $A = 2\pi$ et $B=\frac{\pi}{4}$. $\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=\cos2\pi\cos\frac{\pi}{4}+\sin2\pi\sin\frac{\pi}{4}$ Puisque $\cos2\pi = 1$ et $\sin2\pi=0$, alors $\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(2\pi-\frac{\pi}{4})=\sin2\pi\cos\frac{\pi}{4}-\cos2\pi\sin\frac{\pi}{4}$ Puisque $\cos2\pi = 1$ et $\sin2\pi=0$, alors $\sin(2\pi-\frac{\pi}{4})=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer:

$\cos(\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$