find the most general antiderivative of the function. (check your answer by differentiation. remember the…

Explanation:

Step1: Reescribe la función

Reescribimos $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$, entonces $f(x)=6x^{\frac{1}{2}} + 3\cos(x)$.

Step2: Aplica las reglas de antiderivación

La antiderivada de $x^n$ es $\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$) y la antiderivada de $\cos(x)$ es $\sin(x)$. Para el término $6x^{\frac{1}{2}}$, la antiderivada es $6\times\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=6\times\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 4x^{\frac{3}{2}}$. Para el término $3\cos(x)$, la antiderivada es $3\sin(x)$.

Step3: Añade la constante de integración

La antiderivada más general $F(x)$ es $4x^{\frac{3}{2}}+3\sin(x)+C$.

Answer:

$4x^{\frac{3}{2}}+3\sin(x)+C$