find the most general antiderivative of the function. (check your answer by differentiation. remember the…

Explanation:

Step1: Reescribe la función

Dividimos cada término en el numerador por $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$: [g(t)=\frac{5}{t^{\frac{1}{2}}}+\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}}+\frac{t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}=5t^{-\frac{1}{2}}+t^{\frac{1}{2}}+t^{\frac{3}{2}}]

Step2: Encuentra la antiderivada de cada término

Usamos la regla de la antiderivada $\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$):

• Para el primer término $\int5t^{-\frac{1}{2}}dt=5\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=5\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 10t^{\frac{1}{2}}$
• Para el segundo término $\int t^{\frac{1}{2}}dt=\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}$
• Para el tercer término $\int t^{\frac{3}{2}}dt=\frac{t^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}$

Step3: Agrega la constante de integración

La antiderivada general $G(t)$ es la suma de las antiderivadas de los términos más la constante $C$: [G(t)=10t^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}+C]

Answer:

$G(t)=10t^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}+C$