2. find $lim_{x\rightarrow0}\frac{|x|}{x}$.

Explicación:

Paso 1: Analizar el valor absoluto

Recordar que (|x|=\begin{cases}x, & x\geq0\ -x, & x < 0\end{cases}). Calcularemos los límites laterales.

Paso 2: Calcular el límite por la derecha

Para (x\to0^{+}), (|x| = x). Entonces (\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{x}=1).

Paso 3: Calcular el límite por la izquierda

Para (x\to0^{-}), (|x|=-x). Entonces (\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to0^{-}}\frac{-x}{x}=- 1).

Paso 4: Comprobar la existencia del límite

Como (\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x|}{x}\neq\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x|}{x}), el límite (\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}) no existe.

Respuesta:

El límite no existe.