find the maximum volume of a box given by the function v(x) = x(12 - 2x)^2. (round your answer to the…

Explanation:

Step1: Expand la función

$$V(x)=x(144 - 48x + 4x^{2})=144x-48x^{2}+4x^{3}$$

Step2: Encontrar la derivada

Usando la regla de la derivada de una suma y la regla de la derivada de $x^n$ ($(x^n)'=nx^{n - 1}$), tenemos $V'(x)=144-96x + 12x^{2}$.

Step3: Igualar la derivada a cero

$$12x^{2}-96x + 144=0$$ Dividir entre 12: $x^{2}-8x + 12=0$. Factorizar: $(x - 2)(x - 6)=0$. Los valores críticos son $x = 2$ y $x = 6$.

Step4: Encontrar la segunda derivada

$V''(x)=-96+24x$. Evaluamos en los valores críticos: Para $x = 2$, $V''(2)=-96 + 24\times2=-96+48=-48<0$, entonces $x = 2$ es un máximo local. Para $x = 6$, $V''(6)=-96+24\times6=-96 + 144 = 48>0$, entonces $x = 6$ es un mínimo local.

Step5: Calcular el valor máximo de la función

Sustituimos $x = 2$ en $V(x)$: $V(2)=2\times(12-2\times2)^{2}=2\times(12 - 4)^{2}=2\times64 = 128$

Answer:

$128.00$