find the radius of convergence, $r$, of the series.\n sum_{n = 1}^{infty}\frac{x^{n}}{4cdot9cdot14cdots(5n…

Explanation:

Step1: Appliquer le test de la racine

Soit $a_n=\frac{x^n}{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}$. On utilise le test de la racine $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}$. $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\vert x\vert}{\sqrt[n]{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}}$$

Step2: Estimer la limite

On sait que $4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)\geq4^n$. Alors $\sqrt[n]{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}\geq4$. $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\vert x\vert}{\sqrt[n]{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}} = 0$$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ car $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{4\cdot9\cdot14\cdots(5n - 1)}=\infty$. La série converge pour tout $x$, donc le rayon de convergence $R = \infty$.

Step3: Trouver l'intervalle de convergence

Puisque $R=\infty$, l'intervalle de convergence $I=(-\infty,\infty)$.

Answer:

$R=\infty$ $I=(-\infty,\infty)$