find the range of the given function. f(x)=0.31x³ + 0.9x² - 2.8x - 1.4 answer attempt 1 out of 2 answer…

Explanation:

Step1: Encontrar la derivada de la función

Calculamos la derivada de $f(x)=0.31x^{3}+0.9x^{2}-2.8x - 1.4$. Usando la regla de la derivada de $x^n$ que es $nx^{n - 1}$, tenemos $f'(x)=0.93x^{2}+1.8x - 2.8$.

Step2: Encontrar los puntos críticos

Igualamos $f'(x) = 0$, es decir, $0.93x^{2}+1.8x - 2.8=0$. Usando la fórmula cuadrática $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ para la ecuación $ax^{2}+bx + c = 0$, aquí $a = 0.93$, $b = 1.8$ y $c=-2.8$. $x=\frac{-1.8\pm\sqrt{(1.8)^{2}-4\times0.93\times(-2.8)}}{2\times0.93}=\frac{-1.8\pm\sqrt{3.24 + 10.416}}{1.86}=\frac{-1.8\pm\sqrt{13.656}}{1.86}$. $x_1=\frac{-1.8+\sqrt{13.656}}{1.86}\approx\frac{-1.8 + 3.696}{1.86}\approx1.019$ y $x_2=\frac{-1.8-\sqrt{13.656}}{1.86}\approx\frac{-1.8 - 3.696}{1.86}\approx - 2.955$.

Step3: Analizar el comportamiento de la función

Evaluamos la función en los puntos críticos y consideramos el comportamiento a $\pm\infty$. Como el coeficiente principal de $f(x)$ es positivo ($a = 0.31>0$), cuando $x\to+\infty$, $f(x)\to+\infty$ y cuando $x\to-\infty$, $f(x)\to-\infty$.

Answer:

$(-\infty,+\infty)$