5. find the volume of the composite solid created by the region bounded by y = 0, y = x and x = 4.

Explanation:

Step1: Identificar el método

Para encontrar el volumen del sólido de revolución de la región limitada por $y = 0$, $y=x$ y $x = 4$ alrededor del eje $x$, usaremos el método del disco. La fórmula para el volumen $V$ de un sólido de revolución alrededor del eje $x$ usando el método del disco es $V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$, donde $f(x)$ es la función que define la curva y $[a,b]$ es el intervalo de integración.

Step2: Determinar la función y el intervalo

La función que define la curva es $y = f(x)=x$, y el intervalo de integración es $[a,b]=[0,4]$.

Step3: Calcular la integral

Sustituimos $f(x)=x$ y $[a,b]=[0,4]$ en la fórmula del volumen: [ \begin{align*} V&=\pi\int_{0}^{4}x^{2}dx\ &=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}\ &=\pi\left(\frac{4^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right)\ &=\pi\times\frac{64}{3}\ &=\frac{64\pi}{3} \end{align*} ]

Answer:

$\frac{64\pi}{3}$