first & last name/period amena gonzales sketch the graphs of y = f(x) for the following functions. label the…

Explanation:

Step1: Encontrar el intercepto en y

Sustituir x = 0 en la función. $f(0)=0^{3}-7\times0^{2}+4\times0 - 12=- 12$

Step2: Encontrar los interceptos en x

Intentar factorizar o usar el teorema del valor medio. La función $f(x)=x^{3}-7x^{2}+4x - 12$ no es fácil de factorizar directamente. Podemos probar valores simples de x. Intentando valores como x = 1, 2, 3, etc. No encontramos raíces enteras fáciles. Usando un método numérico (por ejemplo, la regla de la secante o la iteración de Newton - Raphson) o una calculadora gráfica, podemos encontrar las raíces. Pero para un enfoque básico, notemos que no hay una forma sencilla de factorizar.

Step3: Encontrar máximos y mínimos

Calcular la derivada de la función. $f'(x)=3x^{2}-14x + 4$. Luego, encontrar los puntos críticos resolviendo $f'(x)=0$. Usando la fórmula cuadrática para $ax^{2}+bx + c = 0$ ($x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$) con a = 3, b=-14 y c = 4, tenemos $x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^{2}-4\times3\times4}}{2\times3}=\frac{14\pm\sqrt{196 - 48}}{6}=\frac{14\pm\sqrt{148}}{6}=\frac{14\pm2\sqrt{37}}{6}=\frac{7\pm\sqrt{37}}{3}$. Luego, evaluar la segunda derivada $f''(x)=6x - 14$ en los puntos críticos para determinar si son máximos o mínimos.

Answer:

[a] y - intercept: $(0,-12)$ [b] x - intercepts: No se pueden determinar fácilmente sin métodos numéricos. [c] máximos: $x=\frac{7-\sqrt{37}}{3}$, evaluar en $f(x)$ para obtener la coordenada y. [d] mínimos: $x=\frac{7+\sqrt{37}}{3}$, evaluar en $f(x)$ para obtener la coordenada y.