which of the following statements is false?\na ( g(x)=ln x ) is the inverse of ( f(x)=e^{x} ).\nb (…

which of the following statements is false?\na ( g(x)=ln x ) is the inverse of ( f(x)=e^{x} ).\nb ( f(x)=e^{x} ) is continuous and increasing.\nc the graph of ( f(x)=e^{x} ) lies between the graphs of ( d(x)=2^{x} ) and ( h(x)=3^{x} ), and they do not intersect.\nd the range of ( f(x)=e^{x} ) is ( (0, infty) ).

which of the following statements is false?\na ( g(x)=ln x ) is the inverse of ( f(x)=e^{x} ).\nb ( f(x)=e^{x} ) is continuous and increasing.\nc the graph of ( f(x)=e^{x} ) lies between the graphs of ( d(x)=2^{x} ) and ( h(x)=3^{x} ), and they do not intersect.\nd the range of ( f(x)=e^{x} ) is ( (0, infty) ).

Answer

Explanation:

Step 1: Analizar la relación inversa

Si (y = e^{x}), entonces despejando (x) se obtiene (x=\ln y). Intercambiando (x) e (y), la función inversa de (y = e^{x}) es (y=\ln x). Entonces la opción A es verdadera.

Step 2: Analizar la continuidad y el crecimiento

La función (y = e^{x}) es una función exponencial. La derivada de (y = e^{x}) es (y'=e^{x}>0) para todo (x\in R). Además, (y = e^{x}) es continua en (R) (ya que es una función elemental). Entonces la opción B es verdadera.

Step 3: Analizar el rango

Como (e^{x}>0) para todo (x\in R) y (\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=0), (\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{x}=+\infty), el rango de (y = e^{x}) es ((0,+\infty)). Entonces la opción D es verdadera.

Step 4: Analizar la posición de las gráficas

Tomemos (x = 0): (e^{0}=1), (2^{0}=1), (3^{0}=1). Entonces las gráficas de (y = e^{x}), (y = 2^{x}) y (y = 3^{x}) se intersectan en (x = 0). Entonces la opción C es falsa.

Answer:

C. The graph of (f(x)=e^{x}) lies between the graphs of (d(x)=2^{x}) and (h(x)=3^{x}), and they do not intersect.