2. graph f(x)=x³ - 2x² + x - 4. identify the x - intercepts and the points where the local maximums and…

Explanation:

Step1: Encontrar los interceptos en x

Para encontrar los interceptos en x, establecemos $f(x)=0$, es decir $x^{3}-2x^{2}+x - 4=0$. Intentamos factorizar o usamos el teorema del valor intermedio. Notamos que $f(2)=2^{3}-2\times2^{2}+2 - 4=8 - 8+2 - 4=-2$ y $f(3)=3^{3}-2\times3^{2}+3 - 4=27-18 + 3-4=8$. Como $f(2)<0$ y $f(3)>0$, hay un cero en el intervalo $(2,3)$. No es fácil factorizar directamente, así que usaremos la derivada para más análisis.

Step2: Encontrar la derivada de la función

La derivada de $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 4$ usando las reglas de derivación ($(x^{n})'=nx^{n - 1}$) es $f'(x)=3x^{2}-4x + 1$.

Step3: Encontrar los puntos críticos

Establecemos $f'(x)=0$, entonces $3x^{2}-4x + 1=0$. Factorizamos: $3x^{2}-3x-(x - 1)=0$, $3x(x - 1)-(x - 1)=0$, $(3x - 1)(x - 1)=0$. Los puntos críticos son $x=\frac{1}{3}$ y $x = 1$.

Step4: Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Tomamos intervalos $(-\infty,\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$ y $(1,\infty)$. Elegimos un valor de prueba en cada intervalo. Para $x=0$ en $(-\infty,\frac{1}{3})$, $f'(0)=3\times0^{2}-4\times0 + 1=1>0$, así que la función es creciente en $(-\infty,\frac{1}{3})$. Para $x=\frac{1}{2}$ en $(\frac{1}{3},1)$, $f'(\frac{1}{2})=3\times(\frac{1}{2})^{2}-4\times\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}-2 + 1=-\frac{1}{4}<0$, así que la función es decreciente en $(\frac{1}{3},1)$. Para $x=2$ en $(1,\infty)$, $f'(2)=3\times2^{2}-4\times2+1=12 - 8+1=5>0$, así que la función es creciente en $(1,\infty)$.

Step5: Encontrar máximos y mínimos locales

Como la función cambia de creciente a decreciente en $x=\frac{1}{3}$, $f(\frac{1}{3})=(\frac{1}{3})^{3}-2\times(\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{3}-4=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-4=\frac{1 - 6+9}{27}-4=\frac{4}{27}-4=-\frac{104}{27}$ es un máximo local. Como la función cambia de decreciente a creciente en $x = 1$, $f(1)=1^{3}-2\times1^{2}+1-4=-4$ es un mínimo local.

Answer:

• Interceptos en x: Hay un intercepto en x en el intervalo $(2,3)$ (no se puede expresar exactamente sin métodos numéricos).
• Máximo local en el punto $(\frac{1}{3},-\frac{104}{27})$.
• Mínimo local en el punto $(1,-4)$.
• La función es creciente en los intervalos $(-\infty,\frac{1}{3})$ y $(1,\infty)$.
• La función es decreciente en el intervalo $(\frac{1}{3},1)$.