the graph of g consists of two straight lines and a semi - circle as shown in the figure. evaluate each…

Explanation:

Step1: Analizar el área para $\int_{0}^{6}g(x)dx$

La región está bajo una recta. El triángulo tiene base $b = 6$ y altura $h=12$. El área de un triángulo es $A=\frac{1}{2}bh$. Entonces $A_1=\frac{1}{2}\times6\times12 = 36$.

Step2: Analizar el área para $\int_{6}^{18}g(x)dx$

La región es una semicircunferencia de radio $r = 6$. El área de una semicircunferencia es $A=\frac{1}{2}\pi r^{2}$. Entonces $A_2=-\frac{1}{2}\pi\times6^{2}=- 18\pi$ (negativa porque está bajo el eje $x$).

Step3: Analizar el área para $\int_{18}^{21}g(x)dx$

La región es un triángulo. Tiene base $b = 3$ y altura $h = 3$. El área de un triángulo es $A=\frac{1}{2}bh$. Entonces $A_3=\frac{1}{2}\times3\times3=\frac{9}{2}$.

Step4: Calcular $\int_{0}^{6}g(x)dx$

$\int_{0}^{6}g(x)dx=36$

Step5: Calcular $\int_{6}^{18}g(x)dx$

$\int_{6}^{18}g(x)dx=-18\pi$

Step6: Calcular $\int_{0}^{21}g(x)dx$

$\int_{0}^{21}g(x)dx=\int_{0}^{6}g(x)dx+\int_{6}^{18}g(x)dx+\int_{18}^{21}g(x)dx=36-18\pi+\frac{9}{2}=\frac{72 - 36\pi+9}{2}=\frac{81 - 36\pi}{2}$

Answer:

(a) $36$ (b) $-18\pi$ (c) $\frac{81 - 36\pi}{2}$