1. graph (t(x)=\frac{1}{2}(x - 1)(x + 4)^{2}).\n2. graph (f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 4). identify the x…

1. Explicación paso - a - paso para (t(x)=\frac{1}{2}(x - 1)(x + 4)^{2}):
   • Paso 1: Encontrar las raíces de la función
     • Para encontrar las raíces, establecemos (t(x)=0). Entonces, (\frac{1}{2}(x - 1)(x + 4)^{2}=0).
     • Usando el principio del producto cero, (x-1 = 0) o ((x + 4)^{2}=0). Las raíces son (x = 1) y (x=-4). La raíz (x=-4) tiene multiplicidad 2, lo que significa que la gráfica toca el eje (x) en (x=-4), y la raíz (x = 1) tiene multiplicidad 1, lo que significa que la gráfica cruza el eje (x) en (x = 1).
   • Paso 2: Expandir la función
     • (t(x)=\frac{1}{2}(x - 1)(x^{2}+8x + 16)=\frac{1}{2}(x^{3}+8x^{2}+16x-x^{2}-8x - 16)=\frac{1}{2}(x^{3}+7x^{2}+8x - 16)).
   • Paso 3: Encontrar la derivada de la función
     • Usando la regla de la suma y la regla de la potencia, (t^\prime(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}+14x + 8)).
     • Factorizando, (t^\prime(x)=\frac{1}{2}(3x + 2)(x+4)).
   • Paso 4: Encontrar los puntos críticos
     • Establecemos (t^\prime(x)=0), entonces (\frac{1}{2}(3x + 2)(x + 4)=0). Los puntos críticos son (x=-4) y (x=-\frac{2}{3}).
   • Paso 5: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
     • Elegimos valores de prueba en los intervalos ((-\infty,-4)), ((-4,-\frac{2}{3})) y ((-\frac{2}{3},\infty)).
     • Para (x=-5), (t^\prime(-5)=\frac{1}{2}(3(-5)+2)(-5 + 4)=\frac{1}{2}(-13)(-1)=\frac{13}{2}>0), así que la función crece en ((-\infty,-4)).
     • Para (x=-1), (t^\prime(-1)=\frac{1}{2}(3(-1)+2)(-1 + 4)=\frac{1}{2}(-1)(3)=-\frac{3}{2}<0), así que la función decrece en ((-4,-\frac{2}{3})).
     • Para (x = 0), (t^\prime(0)=\frac{1}{2}(3(0)+2)(0 + 4)=\frac{1}{2}(2)(4)=4>0), así que la función crece en ((-\frac{2}{3},\infty)).
     • (x=-4) es un punto de máximo local (ya que la función cambia de creciente a decreciente) y (x =-\frac{2}{3}) es un punto de mínimo local (ya que la función cambia de decreciente a creciente).
2. Explicación paso - a - paso para (f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 4):
   • Paso 1: Encontrar las raíces (x - intercepts)
     • Intentamos encontrar las raíces de (f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 4). Intentando valores simples como (x = 1,2,\cdots), vemos que (f(2)=2^{3}-2\times2^{2}+2 - 4=8 - 8+2 - 4=-2) y (f(4)=4^{3}-2\times4^{2}+4 - 4=64-32=32).
     • Usando el teorema del valor intermedio, sabemos que hay una raíz en el intervalo ((2,4)). No es fácil encontrar la raíz exacta por factorización, pero podemos usar un método numérico como el método de Newton - Raphson.
   • Paso 2: Encontrar la derivada de la función
     • (f^\prime(x)=3x^{2}-4x + 1).
     • Factorizando, (f^\prime(x)=(3x - 1)(x - 1)).
   • Paso 3: Encontrar los puntos críticos
     • Establecemos (f^\prime(x)=0), entonces ((3x - 1)(x - 1)=0). Los puntos críticos son (x=\frac{1}{3}) y (x = 1).
   • Paso 4: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
     • Elegimos valores de prueba en los intervalos ((-\infty,\frac{1}{3})), ((\frac{1}{3},1)) y ((1,\infty)).
     • Para (x = 0), (f^\prime(0)=(3(0)-1)(0 - 1)=1>0), así que la función crece en ((-\infty,\frac{1}{3})).
     • Para (x=\frac{2}{3}), (f^\prime(\frac{2}{3})=(3\times\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-1)=(2 - 1)(\frac{2}{3}-1)=-\frac{1}{3}<0), así que la función decrece en ((\frac{1}{3},1)).
     • Para (x = 2), (f^\prime(2)=(3\times2-1)(2 - 1)=5>0), así que la función crece en ((1,\infty)).
     • (x=\frac{1}{3}) es un punto de máximo local y (x = 1) es un punto de mínimo local.
     • Para determinar si la función es par o impar, (f(-x)=(-x)^{3}-2(-x)^{2}+(-x)-4=-x^{3}-2x^{2}-x - 4). Como (f(-x)\neq f(x)) y (f(-x)\neq - f(x)), la función es ni par ni impar.

Respuesta:

1. La gráfica de (t(x)) toca el eje (x) en (x=-4) y cruza el eje (x) en (x = 1). Tiene un máximo local en (x=-4) y un mínimo local en (x=-\frac{2}{3}). La función crece en ((-\infty,-4)\cup(-\frac{2}{3},\infty)) y decrece en ((-4,-\frac{2}{3})).
2. La función (f(x)) tiene una raíz en el intervalo ((2,4)) (no exacta por factorización). Tiene un máximo local en (x=\frac{1}{3}) y un mínimo local en (x = 1). La función crece en ((-\infty,\frac{1}{3})\cup(1,\infty)) y decrece en ((\frac{1}{3},1)). La función es ni par ni impar.