the graph of a function f is given. estimate ∫₀¹⁰ f(x) dx using five subintervals with the following. (a)…

Explanation:

Step1: Calcular el ancho de los sub - intervalos

El intervalo es $[a,b]=[0,10]$ y $n = 5$. El ancho de cada sub - intervalo $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{10-0}{5}=2$. Los sub - intervalos son $[0,2]$, $[2,4]$, $[4,6]$, $[6,8]$, $[8,10]$.

Step2: Estimar con los puntos finales derechos

Los puntos finales derechos son $x_1 = 2$, $x_2=4$, $x_3 = 6$, $x_4=8$, $x_5 = 10$. Estimamos $f(x_i)$ a partir del gráfico. Supongamos que $f(2)\approx2$, $f(4)\approx1$, $f(6)\approx3$, $f(8)\approx - 1$, $f(10)\approx - 2$. Entonces $\int_{0}^{10}f(x)dx\approx\sum_{i = 1}^{5}f(x_i)\Delta x=\Delta x(f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10))=2(2 + 1+3-1 - 2)=6$.

Step3: Estimar con los puntos finales izquierdos

Los puntos finales izquierdos son $x_0 = 0$, $x_1=2$, $x_2 = 4$, $x_3=6$, $x_4 = 8$. Supongamos que $f(0)\approx - 1$, $f(2)\approx2$, $f(4)\approx1$, $f(6)\approx3$, $f(8)\approx - 1$. Entonces $\int_{0}^{10}f(x)dx\approx\sum_{i = 0}^{4}f(x_i)\Delta x=\Delta x(f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+f(8))=2(-1 + 2+1+3-1)=8$.

Step4: Estimar con los puntos medios

Los puntos medios son $x_{m1}=1$, $x_{m2}=3$, $x_{m3}=5$, $x_{m4}=7$, $x_{m5}=9$. Supongamos que $f(1)\approx3$, $f(3)\approx0$, $f(5)\approx2$, $f(7)\approx1$, $f(9)\approx - 2$. Entonces $\int_{0}^{10}f(x)dx\approx\sum_{i = 1}^{5}f(x_{mi})\Delta x=\Delta x(f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9))=2(3 + 0+2+1-2)=8$.

Answer:

(a) 6 (b) 8 (c) 8