the graph of the function f is given. (a) use six rectangles to find estimates of each type for the area…

Explanation:

Step1: Calcular el ancho de cada sub - intervalo

El intervalo es $[0,36]$ y $n = 6$. El ancho $\Delta x=\frac{36 - 0}{6}=6$.

Step2: Encontrar los valores de $x$ para los puntos de muestreo

Para $L_6$: $x_0 = 0,x_1=6,x_2 = 12,x_3=18,x_4 = 24,x_5=30$. Para $R_6$: $x_1 = 6,x_2=12,x_3 = 18,x_4=24,x_5 = 30,x_6=36$. Para $M_6$: $x_0 = 3,x_1=9,x_2 = 15,x_3=21,x_4 = 27,x_5=33$.

Step3: Leer los valores de $y = f(x)$ del gráfico

Supongamos que los valores de $y = f(x)$ leídos del gráfico para los puntos correspondientes son: Para $L_6$: $f(x_0)=24,f(x_1)\approx21,f(x_2)\approx18,f(x_3)\approx14,f(x_4)\approx10,f(x_5)\approx6$. $L_6=\sum_{i = 0}^{5}f(x_i)\Delta x=\Delta x(f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5))=6(24 + 21+18+14+10+6)=6\times93 = 558$. Para $R_6$: $f(x_1)\approx21,f(x_2)\approx18,f(x_3)\approx14,f(x_4)\approx10,f(x_5)\approx6,f(x_6)\approx3$. $R_6=\sum_{i = 1}^{6}f(x_i)\Delta x=\Delta x(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5)+f(x_6))=6(21 + 18+14+10+6+3)=6\times72=432$. Para $M_6$: $f(x_0)\approx22.5,f(x_1)\approx19.5,f(x_2)\approx16,f(x_3)\approx12,f(x_4)\approx8,f(x_5)\approx4.5$. $M_6=\sum_{i = 0}^{5}f(x_i)\Delta x=\Delta x(f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5))=6(22.5+19.5 + 16+12+8+4.5)=6\times82.5 = 495$.

Answer:

(i) $L_6 = 558$ (ii) $R_6 = 432$ (iii) $M_6 = 495$