which graph represents the function (f(x)=\frac{2x}{x^{2}-1})?

Explanation:

Step1: Encontrar las asintotas verticales

Para encontrar las asintotas verticales, establecemos el denominador igual a cero: $x^{2}-1 = 0$. Factorizando, obtenemos $(x + 1)(x - 1)=0$. Entonces, $x=-1$ y $x = 1$ son las asintotas verticales.

Step2: Encontrar la asintota horizontal

Dividimos el numerador y el denominador por el término de mayor grado en el denominador ($x^{2}$). Tenemos $f(x)=\frac{\frac{2x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^{2}}}$. Como $x\to\pm\infty$, $\frac{2}{x}\to0$ y $\frac{1}{x^{2}}\to0$, entonces la asintota horizontal es $y = 0$.

Step3: Analizar el comportamiento en los intervalos

Tomamos valores en los intervalos $(-\infty,-1)$, $(-1,1)$ y $(1,\infty)$. Por ejemplo, para $x=-2$, $f(-2)=\frac{2\times(-2)}{(-2)^{2}-1}=\frac{-4}{3}$. Para $x = 0$, $f(0)=\frac{2\times0}{0^{2}-1}=0$. Para $x=2$, $f(2)=\frac{2\times2}{2^{2}-1}=\frac{4}{3}$.

Answer:

La gráfica que tiene asintotas verticales en $x=-1$ y $x = 1$ y asintota horizontal en $y = 0$, y que tiene valores negativos en $(-\infty,-1)$, cero en $x = 0$ y positivos en $(1,\infty)$ es la correcta. Sin ver todas las opciones, pero con el análisis hecho, se puede identificar la gráfica correcta entre las disponibles teniendo en cuenta estos aspectos.