6.9 integrating using substitution calculus find the indefinite integrals. 1. ∫x(x² + 3)⁵ dx

Explicación:

Paso 1: Definir la sustitución

Sea $u = x^{2}+3$, entonces $du = 2x dx$, y $x dx=\frac{1}{2}du$.

Paso 2: Reescribir la integral

La integral $\int x(x^{2}+3)^{5}dx$ se convierte en $\int u^{5}\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{5}du$.

Paso 3: Integrar con respecto a $u$

Usando la regla de integración $\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$), tenemos $\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{u^{6}}{12}+C$.

Paso 4: Sustituir $u$ de vuelta

Sustituyendo $u = x^{2}+3$ de vuelta, obtenemos $\frac{(x^{2}+3)^{6}}{12}+C$.

Respuesta:

$\frac{(x^{2}+3)^{6}}{12}+C$