let g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt, where f is the function whose graph is shown. (a) evaluate g(0), g(1), g(2), g(3)…

Answer:

• $g(0)=0$
• $g(1)=2$
• $g(2)=4$
• $g(3)=6$
• $g(6)=1$

Explanation:

Step1: Definición de integral definida

$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$. Cuando $x = 0$, $\int_{0}^{0}f(t)dt = 0$, entonces $g(0)=0$.

Step2: Cálculo de $g(1)$

$g(1)=\int_{0}^{1}f(t)dt$. La función $f(t)$ en el intervalo $[0,1]$ es constante con valor $2$. Entonces $g(1)=\int_{0}^{1}2dt=2t\big|_{0}^{1}=2(1 - 0)=2$.

Step3: Cálculo de $g(2)$

$g(2)=\int_{0}^{2}f(t)dt=\int_{0}^{1}f(t)dt+\int_{1}^{2}f(t)dt$. Sabemos que $\int_{0}^{1}f(t)dt = 2$ y en el intervalo $[1,2]$, $f(t) = 2$ también. Entonces $\int_{1}^{2}f(t)dt=2(2 - 1)=2$, y $g(2)=2 + 2=4$.

Step4: Cálculo de $g(3)$

$g(3)=\int_{0}^{3}f(t)dt=\int_{0}^{2}f(t)dt+\int_{2}^{3}f(t)dt$. $\int_{0}^{2}f(t)dt = 4$, y en el intervalo $[2,3]$, $f(t)$ es una recta que forma un triángulo. La base del triángulo es $1$ y la altura es $2$. El área del triángulo es $\frac{1}{2}\times1\times2 = 2$. Entonces $g(3)=4+2 = 6$.

Step5: Cálculo de $g(6)$

$g(6)=\int_{0}^{6}f(t)dt=\int_{0}^{3}f(t)dt+\int_{3}^{5}f(t)dt+\int_{5}^{6}f(t)dt$. $\int_{0}^{3}f(t)dt = 6$. En el intervalo $[3,5]$, $f(t)$ forma un triángulo con base $2$ y altura $ - 3$ (negativo porque está por debajo del eje $t$), el área es $\frac{1}{2}\times2\times(- 3)=-3$. En el intervalo $[5,6]$, $f(t)= - 2$ y $\int_{5}^{6}-2dt=-2(6 - 5)=-2$. Entonces $g(6)=6-3 - 2=1$.