let g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt, where f is the function whose graph is shown. (a) at what values of x do the local…

let g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt, where f is the function whose graph is shown. (a) at what values of x do the local maximum and minimum values of g occur? x_min = (smaller x - value) x_min = (larger x - value) x_max = (smaller x - value) x_max = (larger x - value) (b) where does g attain its absolute maximum value? x =

let g(x) = ∫₀ˣ f(t) dt, where f is the function whose graph is shown. (a) at what values of x do the local maximum and minimum values of g occur? x_min = (smaller x - value) x_min = (larger x - value) x_max = (smaller x - value) x_max = (larger x - value) (b) where does g attain its absolute maximum value? x =

Answer

Explanation:

Step1: Aplicar el teorema fundamental del cálculo

Según el teorema fundamental del cálculo, $g'(x)=f(x)$. Los puntos críticos de $g(x)$ se dan donde $g'(x) = 0$, es decir, donde $f(x)=0$.

Step2: Identificar los puntos donde $f(x) = 0$

Observando la gráfica de $f(t)$, $f(x)=0$ en $x = 5,15,25,35$.

Step3: Determinar máximos y mínimos locales usando la regla del primer - derivado

Si $f(x)$ cambia de signo de positivo a negativo en un punto crítico $c$, entonces $g(x)$ tiene un máximo local en $x = c$. Si $f(x)$ cambia de signo de negativo a positivo en un punto crítico $c$, entonces $g(x)$ tiene un mínimo local en $x = c$.

  • $f(x)$ cambia de positivo a negativo en $x = 5$ y $x = 25$, entonces $g(x)$ tiene máximos locales en $x_{max}=5$ y $x_{max}=25$.
  • $f(x)$ cambia de negativo a positivo en $x = 15$ y $x = 35$, entonces $g(x)$ tiene mínimos locales en $x_{min}=15$ y $x_{min}=35$.

Step4: Encontrar el máximo absoluto

El valor de $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ es la suma de las áreas bajo la curva $y = f(t)$ de $t = 0$ a $t = x$. La función $g(x)$ aumenta cuando $f(x)>0$ y decrece cuando $f(x)<0$. La suma de las áreas positivas más grandes se obtiene cuando $x = 40$.

Answer:

(a) $x_{min}=15$ (smaller x - value) $x_{min}=35$ (larger x - value) $x_{max}=5$ (smaller x - value) $x_{max}=25$ (larger x - value) (b) $x = 40$