lim(x→4) (e^x² / √(x - 2))

Explanation:

Step1: Rationaliser le dénominateur

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{x}+2$. $\lim_{x\rightarrow4}\frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}-2}\times\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\lim_{x\rightarrow4}\frac{e^{x^2}(\sqrt{x}+2)}{x - 4}$

Step2: Utiliser la propriété des limites et la dérivée (L'Hopital si nécessaire)

On sait que $\lim_{x\rightarrow4}\frac{e^{x^2}(\sqrt{x}+2)}{x - 4}$. En utilisant la propriété des limites du produit $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\times\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ (si les deux limites existent). $\lim_{x\rightarrow4}e^{x^2}=e^{16}$ et $\lim_{x\rightarrow4}\frac{\sqrt{x}+2}{x - 4}$. On peut également utiliser la définition de la dérivée. Soit $f(x)=\sqrt{x}$, $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. $\lim_{x\rightarrow4}\frac{\sqrt{x}- 2}{x - 4}=f^{\prime}(4)=\frac{1}{4}$. $\lim_{x\rightarrow4}\frac{e^{x^2}(\sqrt{x}+2)}{x - 4}=e^{16}\times(2 + 2)\times\frac{1}{4}=e^{16}$

Answer:

$e^{16}$