what is $lim_{h \to 0}\frac{8(\frac{1}{2}+h)^{8}-8(\frac{1}{2})^{8}}{h}$?

Explanation:

Step1: 求导定义

此极限符合函数$f(x)=8x^{8}$在$x = \frac{1}{2}$处的导数定义式$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$。

Step2: 求导公式

根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$f(x)=8x^{8}$求导，$f^\prime(x)=8\times8x^{7}=64x^{7}$。

Step3: 代入求值

将$x=\frac{1}{2}$代入$f^\prime(x)$，$f^\prime(\frac{1}{2})=64\times(\frac{1}{2})^{7}$。 计算$64\times(\frac{1}{2})^{7}=64\times\frac{1}{128}=\frac{1}{2}$。

Answer:

$\frac{1}{2}$