$\\lim_{x \\to 0}\\left|\\frac{1+\\int_{0}^{x} \\mathrm{e}^{t^{2}} \\mathrm{~d} t}{\\mathrm{e}^{x}-1}-\\frac{…

Explanation:

Step1: 等价无穷小替换分母

当$x \to 0$时，$e^x - 1 \sim x$，$\sin x \sim x$，原式变为： $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+\int_{0}^{x} e^{t^2} \mathrm{d}t}{x} - \frac{1}{x} \right)$$

Step2: 合并分式化简

合并两个分式，消去常数项： $$\lim_{x \to 0} \frac{1+\int_{0}^{x} e^{t^2} \mathrm{d}t - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{t^2} \mathrm{d}t}{x}$$

Step3: 洛必达法则求极限

分子为变上限积分，对分子分母分别求导： $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}}{1}$$

Step4: 代入$x=0$计算

将$x=0$代入得： $$e^{0^2}=1$$

Answer:

$1$