$\\lim_{x \\to 0}\\left(\\frac{1 + \\int_{0}^{x} \\mathrm{e}^{t^{2}}\\mathrm{d}t}{\\mathrm{e}^{x}-1}-\\frac{1…

$\\lim_{x \\to 0}\\left(\\frac{1 + \\int_{0}^{x} \\mathrm{e}^{t^{2}}\\mathrm{d}t}{\\mathrm{e}^{x}-1}-\\frac{1}{\\sin x}\\right)=\\underline{\\hspace{2cm}}.$

$\\lim_{x \\to 0}\\left(\\frac{1 + \\int_{0}^{x} \\mathrm{e}^{t^{2}}\\mathrm{d}t}{\\mathrm{e}^{x}-1}-\\frac{1}{\\sin x}\\right)=\\underline{\\hspace{2cm}}.$

Answer

Explanation:

Step1: 等价无穷小替换

当$x\to0$时，$\mathrm{e}^{x}-1\sim x$，$\sin x\sim x$。原式可化为$\lim_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{d}t}{x}-\frac{1}{x}\right)$。

Step2: 合并分式

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{d}t - 1}{x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{d}t}{x}$。

Step3: 洛必达法则

根据洛必达法则，对分子分母分别求导，$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{d}t}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{1}$。

Step4: 求极限

当$x\to0$时，$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{1}=\mathrm{e}^{0}=1$。

Answer:

$1$