$\\lim_{x \\to 0}\\left(\\frac{1 + \\int_{0}^{x} \\mathrm{e}^{t^{2}} \\mathrm{d}t}{\\mathrm{e}^{x} - 1}…

Explanation:

Step1: 通分

$$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{e^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)\ =&\lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)\sin x-(e^{x}-1)}{(e^{x}-1)\sin x} \end{align*} $$ 当(x\to0)时，(e^{x}-1\sim x)，(\sin x\sim x)，则原式可化为 $$ \lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)\sin x-(e^{x}-1)}{x^{2}} $$

Step2: 等价无穷小替换与洛必达法则

当(x\to0)时，(\sin x\sim x)，则 $$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)x-(e^{x}-1)}{x^{2}}\ =&\lim_{x\to0}\frac{x + x\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt - e^{x}+1}{x^{2}} \end{align*} $$ 由洛必达法则，分子分母同时求导 $$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{1+\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+xe^{x^{2}}-e^{x}}{2x}\ =&\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+(1 - e^{x})+xe^{x^{2}}}{2x} \end{align*} $$ 当(x\to0)时，(1 - e^{x}\sim -x)，则 $$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt - x+xe^{x^{2}}}{2x}\ =&\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt - x(1 - e^{x^{2}})}{2x} \end{align*} $$ 当(x\to0)时，(1 - e^{x^{2}}\sim -x^{2})，则 $$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt + x^{3}}{2x}\ =&\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}+3x^{2}}{2} \end{align*} $$

Step3: 代入求值

将(x = 0)代入(\frac{e^{x^{2}}+3x^{2}}{2})，得(\frac{e^{0}+0}{2}=\frac{1}{2})

Answer:

(\frac{1}{2})